Наткнулся на интересную статью "Инвестирование в ПАММ-счета с мартингейлом" (ссылку мне вставить запрещают), где говорится, что мартингейл обычно является прикрытием для убыточных торговых систем (отрицательное мат.ожидание). Это вдохновило меня вопросом: а может быть в таком случае от него может быть польза на системах с положительным мат ожиданием? Провел небольшой подсчет мартингейла на системе с положительным матожиданием и получилось на первый взгляд, что мартингейл выгоден всегда, потому что матожидание с ним выростает. Однако дальнейший анализ говорит о том, что на самом деле эта выгода мнимая, т.к. достигается она за счет повышения рисков. Если же учесть эти риски, то получается, что мартингейл уменьшает потенциальную прибыль, а не увеличивает её. Поправьте мои рассчеты, если я ошибаюсь:
Допустим у нас есть торговая система с прибылью 4 к 1 и вероятностью прибыльной сделки 25%. Т.е. три из четырех сделок убыточны (теряем 1), одна из четырех сделок приносит 5 на вложенные один (получаем 4).
Матожидание такой системы без мартингейла на одной сделке равно 0.25 (4 * 0.25 + -1 * 0.75)
Т.е. за одну сделку прибыль в среднем +25%.
Теперь с мартингейлом. Для того, чтобы упростить подсчеты, допустим, что капитал равен 225 и первая ставка 100, цель - прибыль в 400 сверху. В этом случае по стратегии мартингейла если мы проигрываем на первой ставке, мы должны поставить 125, чтобы прибыль в 500 покрыла потерю первой ставки (100) и дала те же 400 сверху. Если мы проиграем второй раз то больше не ставим, т.к. деньги закончились. При этом считаем, что мы фиксируем прибыль и убытки после каждого шага системы (т.е. если выиграли - выводим прибыль, если проиграли - вливаем 225).
Таким образом, за один шаг системы с мартингейлом результаты следующие:
1/4 результат +400
3/4 результат -100, тогда ставим 125, с шансом 1/4 результат +500 (+400), с шансом 3/4 результат -125 (-225)
или
4/16 результат +400
3/16 результат +400
9/16 результат -225
Матожидание системы с мартингейлом за один шаг равно 0.484375 (4*7/16 - 2.25 * 9/16) (1.75 - 1.265625)
Т.е. за один шаг прибыль в среднем +48.4375%
ВЫВОД: даже если мы учтем то, что с мартингейлом мы в 1/4 случаев совершали одну сделку, а в 3/4 случаев совершали две сделки, и будем в системе без мартингейла в 3/4 случаев совершать две сделки, а не одну, система с мартингейлом получается выгоднее:
Без мартингейла за 1.75 сделок: +43.75%
С мартингейлом за 1.75 сделок: +48.4375%
ОДНАКО!
В данном случае максимальные потери без мартингейла равны -200%, а с мартингейлом -225%.
Разрисуем все варианты при сделках без мартингейла:
Шанс 1/4 что совершается одна сделка, при этом шансы 1/4 1х прибыль 3/4 1х убыток
Шанс 3/4 что совершается две сделки, при этом шансы 1/16 2х прибыль, 6/16 1х прибыль 1х убыток, 9/16 2х убыток
или
1/16 результат 1х прибыль
3/16 результат 1х убыток
3/64 результат 2х прибыль
18/64 результат 1х прибыль 1х убыток
27/64 результат 2х убыток
или
3/64 результат2х прибыль
4/64 результат1х прибыль
18/64 результат 1х прибыль 1х убыток
12/64 результат 1х убыток
27/64 результат 2х убыток
Шансы потерь без мартингейла: 18,75% шанс потерять 1, 42,1875% шанс потерять 2
Шансы потерь с мартингейлом: 56,25% шанс потерять 2.25
Что это значит? Это значит, что для уравнения наших стратегий нужно учесть, что если мы готовы потерять до 2.25, то в случае со стратегией без мартингейла мы могли бы увеличить наши ставки на 1/8 или 12,5%. Тогда и матожидание увеличится соответственно:
Без мартингейла за 1.75 сделок со ставкой в 1.125: +49.22%
С мартингейлом за 1.75 сделок со ставками в 1.00, 1.25: +48.4375%
ИТОГО:
Без мартингейла:
(с вероятностью 1/4 делаем одну сделку со ставкой 1.125, с вероятностью 3/4 делаем две сделки со ставкой 1.125)
3/64 результат +9.0
4/64 результат +4.5
18/64 результат +3.375
12/64 результат -1.125
27/64 результат -2.25
Вероятность прибыли 39.0625%
Вероятность убытка 60.9375%
С мартингейлом:
(делаем одну сделку со ставкой 1.00, в случае проигрыша делаем вторую со ставкой 1.25)
28/64 результат +4.0
36/64 результат -2.25
Вероятность прибыли 43.75%
Вероятность убытка 56.25%
ВЫВОД:
При равных максимальных допустимых рисках система с мартингейлом более стабильная и менее доходная. Волатильность понижается, матожидание тоже. Т.е. прибыльные системы без мартингейла на дистанции будут всегда выгоднее и волатильнее, а с мартингейлом - менее выгодные, но более стабильные.
Почему?
При наличии некоторой прибыльной торговой системы, когда мы "навешиваем" на неё мартингейл, мы увеличиваем не только матожидание системы, но также и риски (потенциальные потери растут тем быстрее, чем на большее количество шагов мартингейла мы позволяем себе пойти). Если бы мы просто увеличили используемый в сделке капитал пропорционально росту рисков от введения мартингейла, то мы бы получили систему с теми же потенциальными потерями, но большим матожиданием. Однако, у этой системы и вероятность убытка на конкретной сделке выше, чем при мартингейле, поэтому её можно считать более рисковой.
Парадоксально, но выходит, что мартингейл понижает риски и доходность, а не наоборот.
добавлено через 4 минуты
Прошу прощения за фигово отформатированный пост. Планировал поправить, но обнаружил, что нет опции редактировать свои сообщения...